Delta z czy to się je?

[przemeksag]

A no to mi się coś klaruje tak jak kolega napisał to jak coś dąży do zera to piszemy d a jak coś jest różnicą " większej od mniejszej" to piszemy deltę. O to chodzi.
Ale jeszcze dalej jednej żeczy nie kapują to różniczkach i pochodnych piszemy np. dy/dx to nam jakiś takiś stosunek wychodzi, czegoś do czegoś. Ale po co to?

[samson]

dy/dx

Chodzi oto, że to co masz w liczniku (dy) i całe wyrażenie np 2x+3y różniczkujesz czyli liczysz pochodną po x, a wszystkie inne parametry traktujesz jako stałe. Czyli w tym przypadku różniczkowanie po x wynosi 2, zaś różniczkowanie po y wynosi 3.

Ale po co to?

Nie jest łatwo odpowiedzieć na takie pytanie.
Kłopot w tym, że dana wartość np elektryczna jest pochodną innej wartości.

Np jeżeli mówimy o prądzie który przepływa przez kondensator , to właśnie ten prąd jest pochodną napięcia na tym kondensatorze. I=C*dU/dt.

Mówiąc inaczej(patrząc na ten wzów)prąd jaki przepłynie przez ten kondensator jest równy stałej pojemnośći C oraz zmianom napięcia panującym na tym kondensatorze w czasie.
Dodam jeszcze, że aby wiedzieć jakie jest napięcie na tym kondensatorze należy w odpowiedni sposób scałkować powyższe równanie

[przemeksag]

Chodzi oto, że to co masz w liczniku (dy) i całe wyrażenie np 2x+3y różniczkujesz czyli liczysz pochodną po x, a wszystkie inne parametry traktujesz jako stałe. Czyli w tym przypadku różniczkowanie po x wynosi 2, zaś różniczkowanie po y wynosi 3.

Napisałeś liczysz pochodną po x .... to po co jeszcze różniczkowanie po y.
A i jeszcze co to znaczy różniczkowanie po.

[samson]

różniczkowanie to liczenie pochodnej.Inaczej mówiąc liczenie funkcji wtórnej.

Napisałeś liczysz pochodną po x .... to po co jeszcze różniczkowanie po y.

To znaczy, że liczysz pochodną po zmiennej x a nie po y. Jak się pewnie domyślasz funkcja która ma w swoim zapisie dx i dy jest funkcją dwóch zmiennych. Czyli można ją liczyć zarówno po x jak i po y,zależnie od naszych potrzeb i wzorów jakie opisują daną wielkość.

Przypatrz się na wzór na kondensator.

Różniczkujemy po czasie, bo zmiany w czasie napięcia mówią nam o tym jaki będzie prąd, a nie odwrotnie.

[000andrzej]

Proponuję zajrzeć do tablic matematycznych, gdzie są podstawowe wzory na liczenie pochodnych. I zgodnie z tymi wzorami proponuję obliczyć jakieś przykłady.
Nie chce mi sie wierzyć, że w tej chwili w szkole średniej nie uczy sie człowiek pochodnych.
W jaki sposób obliczacie przebieg zmienności funkcji? Za moich czasów było to już w 2 klasie szkoły średniej. Na maturze zadanie murowane. Przecież, aby znaleźć extremum (max, min) najłatwiej obliczyć pochodną i taką funkcję przyrównać do zera. W elektronice dość przydatne narzędzie.

Dodam, że pochodna funkcji to tangens kąta nachylenia stycznej w danym punkcie do wykresu. Im wyższy tangens tym większe nachylenie wykresu (większa zmiana wartości). To tak na marginesie, ale napisałem to aby pokazać, że się przydaje później. Po jakimś czasie "na oko" będziesz to mógł oceniać.

Równania różniczkowe rzeczywiście dopiero na studiach, ale aby takowe obliczyć trzeba umieć obliczać całki.

[c4r0]

Ale jeszcze dalej jednej żeczy nie kapują to różniczkach i pochodnych piszemy np. dy/dx to nam jakiś takiś stosunek wychodzi, czegoś do czegoś. Ale po co to?

Jeśli różniczkujesz (czyli liczysz pochodną, to jest to samo) to ten "stosunek zmian" właściwie jest w całości nierozłącznym symbolem pochodnej. W liczniku masz funkcję różniczkowaną a w mianowniku zmienną po której różniczkujesz (ten zapis np. df/dx czyta się "de ef po de ikx", nie "przez iks" ). Ogólnie jak zaczynasz uczyć się o pochodnej to oznaczasz pochodną funkcji f(x) jako f'(x). Sprawa prosta bo funkcja jest tylko funkcją 'iksa'. W dalszej części nauki zapis zmienia się i pochodna funkcji f to df/dx, dlatego że f nie jest tylko funkcją 'iksa' ale też innych zmiennych, i to co stoi przy d w mianowniku informuje się po jakiej zmiennej masz tą pochodną liczyć. Mówiąc ogólnie Δx/Δy to po prostu proporcja, a df/dx pomimo że niby podobne to już jest właściwie tylko symbol pochodnej i nie ma zbyt wiele w praktyce wspólnego z proporcją ani dzieleniem. Dodam jeszcze jako ciekawostkę, że oprócz Δ (duża delta) i d używa się też znaczka małej delty, który oznacza pochodną cząstkową. Np. jeśli obliczasz coś na wektorach (czyli w 3D) to każda funkcja położenia jest funkcją trzech (lub więcej) zmiennych: x, y, z. Pochodne po każdej z tych zmiennych z osobna są pochodnymi cząstkowymi.

[przemeksag]

Jeszcze raz wrócę do tematu pochodnych.
Ze wzorów z fizy wiem że coś takiego wynika.
pochodna z s to V
a pochodna z v to a
tylko za nic nie wiem jak to wyprowadzić
czy mógł by mi ktos w tym pomóc
i jeszcze jedno taki wzór po wyliczeniu pochodnych jak to się to dalej liczy czy tak jak normalny wzór. podstawia się potem tą wartość czy jak.

[gaweł]

Jeszcze raz wrócę do tematu pochodnych.
Ze wzorów z fizy wiem że coś takiego wynika.
pochodna z s to V
a pochodna z v to a
tylko za nic nie wiem jak to wyprowadzić
czy mógł by mi ktos w tym pomóc
i jeszcze jedno taki wzór po wyliczeniu pochodnych jak to się to dalej liczy czy tak jak normalny wzór. podstawia się potem tą wartość czy jak.

Nie ucz się na pamięć, tylko spróbuj zrozumieć. Popatrz na fizykę "oczami matematyki". Jak wiesz (a powinieneś), pochodna jako funkcja określa przyrost, szybkość zmian innej funkcji. Jeżeli masz pewną funkcję np f(x), to f'(x) charakteryzuje jej [f(x)] przyrost. Symbolika f(x) jest oznaczeniem abstrakcyjnym (matematycznym), rozważania również dotyczą f(t) itp. Z punktu widzenia fizyki, masz przykładowo dla ruchu jednostajnie przyśpieszonego następujący związek (w najprostszym wariancie):
S(t)= 1/2 * a * t **2
jest to funkcja, które okresla przebytą drogę w funkcji czasu.
Jeżeli porachujesz pochodną w.w funkcji, jako f(t) to uzyskasz (pochodna funkcji kwadratowej) :
S'(t)=a*t
sens tego jest taki, że ta funkcja wyraża szybkość przyrostu funkcji, czyli S(t) w czasie.
Z punktu widzenia fizyki, przyrostem drogi w funkcji czasu jest prędkość, czyli s'(t) jest funkcją prędkości, czyli v(t). Analogicznie licząc pochodną dla funkcji v(t) uzyskujesz dla w.w wyrażeń (pochodna funkcji liniowej):
v'(t)=a
Z fizycznego punktu widzenia przyrostem prędkości w funkcji czasu jest przyśpieszenie.
Analogicznie, jeżeli masz funkcję opisujacą przykładowo ruch drgający, jako funkcja połżenia w funkci czasu, to jak porachujesz pochodną, to uzyskasz prędkość w ruchu drgającym. Jak porachujesz drugą pochodną, to uzyskasz przyśpieszenie. Rozważania te są prawdziwe dla wszystkich zjawisk fizycznych.

[000andrzej]

Na odwrót - wiedząc, że przyspieszenie to pochodna prędkości po czasie obliczamy całkę (funkcję pierwotną przed różniczkowaniem) dv/dt = a i wyjdzie v= at + v0 (tak nazwijmy stałą, którą trzeba dopisać do całkowania). Teraz obliczając całkę z ds/dt wyjdzie nam: s= 1/2 at^2 + v0t + x0 (tak nazywamy teraz stałą całkowania). Czy to Ci coś przypomina?
Mówimy tu o wartościach skalarnych. W wartościach wektorowych można to rozpisać na współrzędne x i y. Jak to sobie dokładnie rozpiszecie - macie idealne równania rzutu poziomego, pionowego itp...

Podobnie postępujemy przy innych ruchach (np harmonicznych- ale to już trygonometria)

Co do fizyki polecam lekki łatwy i przyjemny podręcznik Resnick, Holliday. Oczywiście poziom klasy mat-fiz za moich czasów, lub minimum podstaw na uczelni technicznej.

[przemeksag]

S(t)= 1/2 * a * t **2
jest to funkcja, które okresla przebytą drogę w funkcji czasu.
Jeżeli porachujesz pochodną w.w funkcji, jako f(t) to uzyskasz (pochodna funkcji kwadratowej) :
S'(t)=a*t

to że ułamek 1/2 znikł to chyba dla tego że to jest stała ale że kwadrat znikł to mnie zadziwiło
dlaczego to się tak zrobiło.[/quote]

[ Dodano: 2008-05-06, 00:49 ]
Zaraz powoli coś wymyśliłem tylko czy dobrze. Znalazłem w książce wzór (x^a)'=ax^a-1
jak liczę pochodną funkcji zgodnie z tym wzorem to mi coś takiego wychodzi:
s(t)=(a * t^2)/2
s'(t)=(a*2t^1)/2
no i z tego wychodzi ½a*t
dlaczego mi wychodzi 1/2 jak powinno wyjść 1

[Alek]

Bo źle podzieliłeś:

s'(t)=(a*2t^1)/2 =2at/2=at

[przemeksag]

A to taka zamiana
Rzeczywiśćie źle

[ Dodano: 2008-08-05, 11:22 ]
Wrócę do tematu bo narodziło mi się nowe pytanie. O co chodzi z drugą pochodną w książce do fizyki znalazłem taki wzór a=dv/dt=(d/dt)*(dx/dt)=d^2x/dt^2