Geometryczne obliczanie pierwiastka z liczby.

[Brzozza93]

Parę lat temu facet na kółku matematycznym pokazał nam jak sprytnie obliczyć pierwiastek kwadratowy sposobem geometryczny. Mam to przedstawione na załączonym rysunku.

AB to odcinek jednostkowy. Długość BC względem odcinka jednostkowego to liczba z której wyciągamy pierwiastek.
Kreślimy półkole o środku w połowie odcinka AC. Rysujemy odcinek BD prostopadły do odcinka AC tak by punkt D należał do łuku. Długość BD względem odcinka jednostkowego to szukany pierwiastek.
Wie ktoś na jakiej zasadzie opiera się ten pomysł Będę wdzięczny
Pozdrawiam

[Alek]

Zapewne trzeba tu wyjść z równania okręgu (patrz krzywe stopnia drugiego) x^2+y^2=r^2
Spróbujmy wprowadzić sobie prostokątny układ współrzędnych, w którym obie osie przechodzą przez środek okręgu, nie zaznaczony na twoim rysunku.
Jeśli promień okręgu wynosi r, wówczas odcinek AB ma długość 1, zaś odcinek BC miałby (r-1)+r.
W naszym układzie współrzędnych y=BD = sqrt (r^2-x^2), wprost z równania okręgu.
Dla wygody warto być może rysunek namalować nawet nieco inaczej, tj odcinek AB po prawej stronie rysunku, choć nie ma to wielkiego znaczenia.
Wówczas x=r-1 i, zgodnie z podanym wyżej wzorem y=BD=sqrt (r^2-(r-1)^2)
Czy to jest równe pierwiastkowi z Twojej liczby?
Należy to teraz sprawdzić. Po prostu sprawdzić czy zajdzie równość y=sqrt (r-1)+r (gdyż (r-1)+r jest liczbą, z której chcesz wyciągnąć pierwiastek).
Okaże się, że taka równość zajdzie, bowiem (r^2-(r-1)^2)=r^2-r^2+2r-1 =2r-1
Jednocześnie (r-1)+r=2r-1

[edwacc]

albo z tw. Pitagorasa, zakładając że x=BD, y=BC, i=AB

[img]http://www.codecogs.com/gif.latex?\\x^{ ... x=\sqrt{yi}[/img]

[olo16]

Gemetria to fajna sprawa. Można naprzykład szybko obliczyć oprność wypadkową z dwóch równoległych rezystorów, można obliczyć oprność wypadkową obwodu RC itp.

[gwozdex]

Ja pamiętam, że kiedyś (chyba na matematyce) był pokazany sposób wyznaczania odcinka o długości √2 √3 √4...
Rysujemy trójkąt równoramienny o długości ramienia =1 a jego przekątna równa jest √2. Jeśli chcemy otrzymać √3 to do tej przekątnej pod kątem prostym rysujemy kolejny odcinek jednostkowy i łączymy jego drugi koniec z poprzednim punktem. I tak dalej...

[Alek]

To chyba był tzw. ślimak Pascala. Ten zabieg pozwalał jednak wyznaczać pierwiastek z liczby całkowitej.

[joon]

To chyba był tzw. ślimak Pascala. Ten zabieg pozwalał jednak wyznaczać pierwiastek z liczby całkowitej.

Możesz coś więcej o tym powiedzieć? Bo pierwsze słyszę o czymś takim...

[Jasam]

To chyba był tzw. ślimak Pascala. Ten zabieg pozwalał jednak wyznaczać pierwiastek z liczby całkowitej.

Raczej to nie był ślimak Pascala ponieważ jest to pewna krzywa, której szczególnym wypadkiem jest krzywa sercowata (kardioida). Dawno- kiedy ja uczyłem się tej metody wyznaczania pierwiastków przez dobudowywanie trójkątów to nazywana była ona po prostu ślimakiem ponieważ ślimak Pascala jest czymś innym.

[Alek]

Istotnie, przepraszam. To nie był ślimak Pascala lecz ślimak Teodorosa.

http://pl.wikipedia.org/wiki/%C5%9Alimak_Teodorosa