Różniczkowanie w obliczeniach obwodów elektrycznych

Jesli jesteś początkującym elektronikiem, to tu z pewnością znajdziesz pomoc. Miejsce dobre do dyskusji nad podstawami elektroniki w zakresie teorii i praktyki.
Chronom
-
Posty: 1
Rejestracja: 08 lip 2013, 17:45
Lokalizacja: Kraków

Post autor: Chronom » 08 lip 2013, 18:12

Rozwiązania równań różniczkowych biorą się z ogromnej wiedzy, wyboraźni, talentu i doświadczenia. Wszystko matematyczne. Wiedzy matematycznej, wyobraźni matematycznej, talentu matematycznego i doświadczenia matematycznego. Niestety nie ma przepisów na rozwiązanie ogólne równania różniczkowego, jako takiego. (Wprowadzające temat nie ma rozwiązania.) Rówanania różniczkowe zostały pogrupowane, posegregowane i przydzielono im określone metody rozwiązywania. Wiele równań r. a właściwie większość i w tym wielu całek a właściwie większość nie da się rozwiązać (analitycznie). Przynajmniej ludzkość takich nie zna (jeszcze). (Nie wiem, co Amerykanie robią i osiągnęli w uczeniu maszynowym. Projekt wzmacniacza µA741 jest dziwny - jak na pracę człowieka.)

I tak rozwiązanie równania różniczkowego opisującego ładowanie/rozładowanie kondensatora wynika z powiązania dwóch faktów - w równaniu opisującym obwód rozładowania kondensatora funkcja napięcia i jej pochodna stoją po przeciwnej stronie oraz z ogólnego faktu matematycznego, że funkcja ekspotencjalna ma taką własność, że jest równa swojej pochodnej. Zatem naturalnie jest oczekiwać, że rozwiązaniem równania różniczkowego opisującego rozładowanie kondensatora jest jakaś postać funkcji naturalnej wykładniczej. Minus przy pochodnej a jego brak przy funkcji napięcia w równaniu opisującym rozładowanie kondensatora sugeruje, że w argumencie jest ujemny współczynnik. (Po zróżniczkowaniu wychodzący przed funkcję wykładniczą.) Itd. Po prostu rozwiązanie bierze się z głowy. Równania różniczkowe to taki rodzaj sudoku, ale na wyższym poziomie.

MiW
Użytkownik
Posty: 226
Rejestracja: 28 sty 2007, 11:32
Lokalizacja: Kraków
Kontakt:

Post autor: MiW » 10 lip 2013, 19:54

Widzę, że ludzie chcą sobie raczej poużywać w pisaniu postów, niż rozwiązać problem.

Jeśli pytanie rozumieć jako: "na czym polega różniczkowanie w odniesieniu do wzoru na prąd kondensatora", to taka mogłaby być niezła odpowiedź:

Wzór
I=C dU/dt
pozwala wyliczyć prąd płynący przez kondensator.

Na początku synteza tego co wiemy o kondensatorze. Przez kondensator podłączony do stałego napięcia prąd nie płynie, prąd płynie jedynie wtedy, gdy napięcie na kondensatorze zmienia się:
  • kondensator się ładuje-płynie przez niego prąd a napięcie na nim rośnie
  • kondensator się rozładowuje-prąd płynie w przeciwną stronę a napięcie maleje
.
Dwie powyższe informacje możemy połączyć w jedno: płynący prąd (trzeba wybrać kierunek - "do" górnego zacisku) powoduje wzrost napięcia w czasie z szybkością poporcjonalną do natężenia tego prądu.
Przy wybranym kierunku prądu (do górnego zacisku) wzrost oznacza, że po chwili czasu do napięcia na kondensatorze "przed chwilą" doda się napięcie (dU) równe natężeniu prądu (I) razy długość chwili czasu (dt) i podzielone przez pojemność kondensatora (C). Kondensator pojemniejszy wolniej się napełnia.

Wzór
dU=I * dt /C
można łatwo przekształcić do początkowego
I=C dU/dt
.

Wyraz
dU/dt
w drugim wzorze jest szybkością zmian napięcia w czasie i ma wymiar (jednostkę) wolt na sekundę. Przykład: Jeśli podłączymy konensator który ma jeden farad do źródła prądu dającego jeden amper, napięcie na tym kondensatorze będzie rosło o jeden wolt na sekundę. może rosnąć tak: 0,1,2,3,4V... ale i tak: -123,-122,-121,-120V...

Po wstępie ćwiczącym wyobraźnię pora na więcej o różniczkach.
Załóżmy, że mamy problem: znamy napięcie na kondensatorze i chcemy policzyć jaki prąd przez niego płynie. Jak już wiemy przy stałym napięciu nie płynie, więc potrzebujemy dalszych informacji: przebiegu napięcia w czasie. Na podstawie przebiegu napięcia w czasie możemy wyznaczyć szybkość zmian, w każdej chwili. Operacja która przyporządkowuje przebiegowi napięcia w czasie (jakiejś funkcji) jej szybkość zmian nazywamy różniczkowaniem.
Pomocne jest następujące wyobrażenie różniczkowania: rysuję wykres funkcji f(t) tak, że na osi t jest podziałka (pionowe kreski). Odejmujemy wartości funkcji w dwóch sąsiednich podziałkach (wcześniejszą od późniejszej, np. f(4)-f(3) ) i na nowym wykresie zaznaczamy kropkę, gdzieś pomiędzy podziałkami t=3 i t=4., na takiej wysokości, jaka wyszła z różnicy f(4)-f(3) podzielonej przez odległość 4 od 3, czyli jeden. Rysuję taką kropkę pomiędzy każdymi podziałkami na osi t. Łącząc uzyskane kropki uzyskam przybliżony wykres szybkości zmian w czasie funkcji f(t). Co ciekawe, gdy będziemy zagęszczać podziałki (zmniejszając dt), mimo tego, że różnica f(t+dt)-f(t) będzie maleć, to pochodna policzona jako [f(t+dt)-f(t)]/dt będzie dążyć do stałej wartości. Nie do zera, bo licznik ułamka dąży do zera, nie do nieskończoności, bo dzielimy przez prawie zero, tylko do stałej wartości. Funkcja musi mieć tylko być ciągła (dać się narysować ciągłą kreską).
Pochodnych nie trzeba za każdym razem odczytywać z wykresu. Można się nauczyć jakie są pochodne elementarnych funkcji np f(x)=a*x, f(x)=x^2, f(x)=sin(x) i jak zmiana we wzorze funkcji zmienia jej pochodną np. znamy trzy powyższe pochodne, a chcemy policzyć pochodną g(x)=a*sin(x^2). Pierwszy semestr studiów inżynierskich pozwala zwykle przyswoić te zasady.

Teraz możemy już mieć poważniejszy problem: nasz kondensator jest częścią obwodu, w którym nie znamy wprost napięcia na tym kondensatorze. Np. kondensator jest podłączony w szereg z rezystorem do stałego napięcia U które znamy.
Wiemy, że prąd płynący przez rezystor to Ir=Ur/R - Ur=napięcie na rezystorze.
Z tego, że R i C są połączone szeregowo, wiemy że Ur+Uc=U i Ir=Ic=I, bo prąd nie ma się gdzie rozpłynąć.
Mamy więc do rozwiązania:
I=(U-Uc)/R=C dUc/dt
Szukamy przebiegu w czasie funkcji Uc(t).
Po przepisaniu powyższe równanie ma postać:
dUc/dt =-Uc(t)/RC + U/RC
Widzimy, że mamy równanie na pochodną jakiejś jeszcze nieznanej funkcji Uc(t), która zależy od Uc.
Na ogół takie równanie rozwiązuje się zgadując postać funkcji (np. Uc=a*e^(b*t)), wylicza pochodną tego zgadniętego rozwiązania (wychodzi ab e^(bt)), podstawia do równania i sprawdza, czy da się wyliczyć takie a i b żeby się zgadzało.
Jest wiele równań różniczkowych i rozwiązuje się je na zasadzie "podobne równania podobne rozwiązania".
Wiele równań różniczkowych nie ma analitycznych (tak że można podać wzór) rozwiązań (acz w elektronice znalezienie takich jest raczej niemożliwe). Często równania rozwiązuje się numerycznie, przyjmując małe dt i aktualizując szukaną funkcję (w powyższym przykładzie Uc) o deltaUc po każdym kroczku dt. Tak robi np. SPICE.
Równania różniczkowe ludzkość zazwyczaj rozwiązuje w drugim semestrze studiów inżynierskich.

ODPOWIEDZ