Witam!
Zastanawia mnie ostatnio, dlaczego wszystko modeluje się w technice za pomocą funkcji harmonicznych (sinus/cosinus). Przecież to zwykłe funkcje. A jak człowiek idzie na politechnikę to wszystko się z sinusa/cosinusa wywodzi i na sinusach/cosinusach kończy. Ze wspomnę Transformatę Fouriera, Szereg Fouriera, kupę innych transformat, funkcję Bessela, wymuszenie, odpowiedź układu, itp itd.
Wszystko jest w technice cosinusem. Ja się pytam: dlaczego cosinus jest taki ważny i skąd wiemy, że to akurat on a nie np. funkcja prostokątna (przebieg prostokątny). Niby przebieg prostokątny też da się rozłożyć na sumę cosinusów (!!! szereg Fouriera), ale mamy efekt Gibbsa więc niezupełnie!
Widzę tysiące wzorów bo jestem na III roku EiT i w 99% z nich jest sinus albo cosinus!!!
Już nie wspomnę o tym, że w każdej modulacji nośną jest cosinus!!! Wiem, ze to wypada lepiej mocowo bo np. nośna prostokątna nie jest tak efektywna, ale do diaska - wszędzie cosinus?
Napięcie wylatujące z gniazdka ma świadomie przebieg sinusoidalny bo tak zaprojektował to człowiek.
Mi chodzi o coś zupełnie innego - wszelkie wzory modelujące w większym czy mniejszym stopniu rzeczywistość i różnorakie relacje i zależności fizyczne mają w sobie cosinusy albo sinusy. Czyli z tego by wynikało że nasza rzeczywistość jest złożeniem funkcji harmonicznych. Przecież natura nie zna pojęcia szerokości pasma czy zależności energetycznych a jednak wszystko jest sinusem!
Nie rozumiem skąd się to bierze, przecież sinus jest taką samą funkcją jak każda inna, czemu sinus a nie signum, funkcja Dirichleta czy skok jednostkowy?
Kwestia pasma: dobra, widmo cosinusa to dwa diracki czyli pasmo nieskończenie wąskie ale tu już jest kwestia interpretacji człowieka bo tak się przyjęło że widmo to jest jakby ciągły w czasie szereg Fouriera. Jakby za funkcję podstawową uznać np. przebieg prostokątny to sam w sobie też by miał nieskończenie wąskie widmo - kwestia interpretacji.
Jest mnóstwo funkcji okresowych - czemu akurat sinus? Piszesz, że to podstawowe funkcje okresowe. A ja mówię: guzik prawda. Czy podstawowe to zależy od punktu widzenia - ja równie dobrze mogę sobie przyjąć za podstawowy przebieg trójkątny czy piłokształtny i w oparciu o niego zrobić nową analizę fourierowską itp. I co, też w 99% wzorów będzie piła? Przecież przebieg trójkątny czy piłokształtny też jest okresowy. I nie mów, że sinus jest podstawowym tonem, bo równie dobrze w innym układzie odniesienia to piłokształtny może być podstawowym tonem o jednej częstotliwości a sinusa możemy sobie złożyć z sumy przebiegów piłokształtnych.
Mam problem żeby jakoś sobie w głowie poukładać czemu tak jest, może to wcale nie sinus jest podstawowym przebiegiem... Może Fourier się mylił. Przecież gdyby sinus był taki idealny, to za jego pomocą dało by się uzyskać każdy przebieg - a tak nie do końca jest - co prawda jest szereg Fouriera ale ma on dużo wyjątków (nie każdy przebieg da się złożyć z sumy funkcji harmonicznych) no i efekt Gibbsa. I kto mi teraz powie, że sinus jest idealny?
I dochodzimy do sedna - dlaczego cosinus/sinus?
Więc czemu to cos/sin są wszędzie??
Dlaczego cosinus jest podstawową funkcją w technice?
Hehe, czytałem też taką małą dygresję autora największego bestsellera DSP Guide, Smitha. Też pisał że można przebiegi rozkładając na dowolne inne, prostokątne, piłokształtne, skwitował to najłatwiej wykorzystanie sinusa/cosinusa, bo jest wygodniej (;
Dużo jest w tym prawdy, taki spór już się toczył w XVIII wieku, kiedy Lagrange usilnie nie chciał dopuścić wyników Fouriera, że każdy przebieg można zobrazować jako suma cosinusów i sinusów. Twierdził że taka hybryda nie oda ostrych zboczy (dokładnie naroży) np. prostokąta. Dopiero półwieku później, reszta świata uznała słuszność Fouriera, kiedy można uznać różnicę osławionej energii między jej przebiegiem naturalnym, a jego syntezą z cos/sin równą zero. Ale nikt nie znał jeszcze fundamentalnego prawa energii i jak to wykorzystać. Czyli nie robiąc zooma, widzimy że mamy prostokącik (; Efekt Gibssa pojawia się kiedy w syntezie sygnału jest za mało wymaganych cos/sin, sprawiając że mamy przerzuty.
Najłatwiejszy test puść Sobie zadany przebieg prostokątny i dokonaj jego rozkładu filtrując dane pasmo częstotliwości. Jak dobierzesz taki filtr pasmowoprzestuwym o wysokim Q (dobroci, selektywny), to dostaniesz na wyjściu nic innego jak sinusa (lub sinusopodobnego) (: I łatwo to Sobie wyobrazić filtr w kształcie teoretycznego prostokącika w dziedzinie częstotliwości odcina nam inne prążki, dając jakiś prążek/prążki i syntezując do dziedziny czasu mamy inny przebieg w tym wypadku sinusa (zakładając że został pozostawiony jeden prążek). I weź tu inną lepszą teorię wymyśl (;
Dużo jest w tym prawdy, taki spór już się toczył w XVIII wieku, kiedy Lagrange usilnie nie chciał dopuścić wyników Fouriera, że każdy przebieg można zobrazować jako suma cosinusów i sinusów. Twierdził że taka hybryda nie oda ostrych zboczy (dokładnie naroży) np. prostokąta. Dopiero półwieku później, reszta świata uznała słuszność Fouriera, kiedy można uznać różnicę osławionej energii między jej przebiegiem naturalnym, a jego syntezą z cos/sin równą zero. Ale nikt nie znał jeszcze fundamentalnego prawa energii i jak to wykorzystać. Czyli nie robiąc zooma, widzimy że mamy prostokącik (; Efekt Gibssa pojawia się kiedy w syntezie sygnału jest za mało wymaganych cos/sin, sprawiając że mamy przerzuty.
Najłatwiejszy test puść Sobie zadany przebieg prostokątny i dokonaj jego rozkładu filtrując dane pasmo częstotliwości. Jak dobierzesz taki filtr pasmowoprzestuwym o wysokim Q (dobroci, selektywny), to dostaniesz na wyjściu nic innego jak sinusa (lub sinusopodobnego) (: I łatwo to Sobie wyobrazić filtr w kształcie teoretycznego prostokącika w dziedzinie częstotliwości odcina nam inne prążki, dając jakiś prążek/prążki i syntezując do dziedziny czasu mamy inny przebieg w tym wypadku sinusa (zakładając że został pozostawiony jeden prążek). I weź tu inną lepszą teorię wymyśl (;
Ostatnio zmieniony 28 lis 2010, 13:00 przez tymon_x, łącznie zmieniany 1 raz.
To logiczne, dlatego że cały czas opieramy się na szeregu Fouriera - zależy od punktu widzenia, ja mogę sobie przyjąć swój szereg w którym podstawową funkcją jest przebieg piłokształtny i filtrując sygnał bardzo selektywnym filtrem będę mieć zawsze piłokształtny przebieg. Rozumiesz o co mi chodzi?tymon_x pisze:Najłatwiejszy test puść Sobie zadany przebieg prostokątny i dokonaj jego rozkładu filtrując dane pasmo częstotliwości. Jak dobierzesz taki filtr pasmowoprzestuwym o wysokim Q (dobroci), to dostaniesz na wyjściu nic innego jak sinusa (lub sinusopodobnego) (:
Efekt Gibbbsa dla przebiegu prostokątnego istnieje zawsze w szeregu Fouriera, jedynie zmniejsza się jego szerokość w zależności od tego ile harmonicznych weźmiemy do syntezy.tymon_x pisze:Czyli nie robiąc zooma, widzimy że mamy prostokącik (; Efekt Gibssa pojawia się kiedy w syntezie sygnału jest za mało wymaganych cos/sin, sprawiając że mamy przerzuty.
Zobacz:
Ciekawe, że efekt Gibbsa można zmniejszyć przepuszczając sygnał przez odpowiednie okno.Można przyjąć, że zjawisko to odzwierciedla trudność naśladowania nieciągłej funkcji przez skończone szeregi sinusów.
To jest bardzo ciekawe zjawisko, teraz postawny teoretycznie takie:Luminofor pisze:Można przyjąć, że zjawisko to odzwierciedla trudność naśladowania nieciągłej funkcji przez skończone szeregi sinusów.
I mamy "wizualnie" prostokącik. Dlatego później dopisałem o prawie różnicy energii między sygnałem oryginalnym, a jego syntezą. Jeśli przyjąć że deltaE równa się w przybliżeniu zero, to dostaniesz "wizualnie" prostokąt (przerzut zbiega się do punktu, ale nadal oczywiście oscyluje na poziomie ok. 9% ). Mówię wizualnie bo to jest pojęcie szerokie i przede wszystkim "umowne".Można przyjąć, że zjawisko to odzwierciedla naśladowanie nieciągłej funkcji przez nieskończone szeregi sinusów.
Polecam: DSP Guide - Window FiltersLuminofor pisze:Ciekawe, że efekt Gibbsa można zmniejszyć przepuszczając sygnał przez odpowiednie okno.
Czemu sin/cos ?
Odpowiedz sobie na pytanie: jakie jest równanie podstawowego układu oscylacyjnego?
Czy to jest układ LC, ciężarek i sprężyna, wahadło matematyczne itp zawsze można sprowadzić problem do rozwiązania równania różniczkowego:
x''=-k*x, gdzie k jest stałą zależną od układu, a rozwiązanie jest w postaci:
x(t)=A*sin(w*t+phi)
Sinus jest najprostszym opisem oscylacji, i stąd jego szerokie zastosowanie w technice.
Po drugie, jest zależność:
e^(ix)=cos(x)+i*sin(x)
Tłumaczy to czemu pojawiają się sin i cos we wzorach będących rozwiązaniem pewnych równań różniczkowych.
Po trzecie: wiele wielkości jest wektorami i często posługujemy się iloczynem skalarnym w którym występuje cos.
Po czwarte: często jest potrzeba wyliczenia kąta pomiędzy wektorami. Tutaj funkcje trygonometryczne też są potrzebne.
Odpowiedz sobie na pytanie: jakie jest równanie podstawowego układu oscylacyjnego?
Czy to jest układ LC, ciężarek i sprężyna, wahadło matematyczne itp zawsze można sprowadzić problem do rozwiązania równania różniczkowego:
x''=-k*x, gdzie k jest stałą zależną od układu, a rozwiązanie jest w postaci:
x(t)=A*sin(w*t+phi)
Sinus jest najprostszym opisem oscylacji, i stąd jego szerokie zastosowanie w technice.
Po drugie, jest zależność:
e^(ix)=cos(x)+i*sin(x)
Tłumaczy to czemu pojawiają się sin i cos we wzorach będących rozwiązaniem pewnych równań różniczkowych.
Po trzecie: wiele wielkości jest wektorami i często posługujemy się iloczynem skalarnym w którym występuje cos.
Po czwarte: często jest potrzeba wyliczenia kąta pomiędzy wektorami. Tutaj funkcje trygonometryczne też są potrzebne.
Sinus JEST podstawową funkcją w naturze i koniec!
Bo sinus (cosinus), to funkcje pierwotne. Występują naturalnie w wielu zjawiskach we wszechświecie (w biologii, chemii, elektrotechnice, mechanice, zarówno w małej, jak i dużej, kosmicznej skali).Luminofor pisze:Zastanawia mnie ostatnio, dlaczego wszystko modeluje się w technice za pomocą funkcji harmonicznych (sinus/cosinus). Przecież to zwykłe funkcje. A jak człowiek idzie na politechnikę to wszystko się z sinusa/cosinusa wywodzi i na sinusach/cosinusach kończy.
Idealny trójkąt i prostokąt w naturze nie występuje.Luminofor pisze:Wszystko jest w technice cosinusem. Ja się pytam: dlaczego cosinus jest taki ważny i skąd wiemy, że to akurat on a nie np. funkcja prostokątna (przebieg prostokątny).
Po prostu sinus "siedzi" (bezpośrednio lub w postaci harmonicznych) w naturze i tyle.
My to tylko odkrywamy (sinusy są wszędzie wcale nie dlatego, że ktoś się akurat na nie uparł).
To też wynika z natury zjawisk. Prosty generator (ramka obracająca się polu magnetycznym) daje sinusa, czy to się komuś podoba, czy nie.Luminofor pisze:Napięcie wylatujące z gniazdka ma świadomie przebieg sinusoidalny bo tak zaprojektował to człowiek.
Generatory trójfazowe oddają najwięcej energii (najlepiej wykorzystasz materiały, stal i miedź), gdy fazy (uzwojenia) będą rozłożone równomiernie po obwodzie = i znowu masz wygenerowany sinus.
Właśnie, że natura doskonale "zna" pojęcia pasma przenoszenia i "zależności energetyczne", cokolwiek miałbyś na myśli (my tego wszystkiego nie tworzymy, tylko odkrywamy).Luminofor pisze:Mi chodzi o coś zupełnie innego - wszelkie wzory modelujące w większym czy mniejszym stopniu rzeczywistość i różnorakie relacje i zależności fizyczne mają w sobie cosinusy albo sinusy. Czyli z tego by wynikało że nasza rzeczywistość jest złożeniem funkcji harmonicznych. Przecież natura nie zna pojęcia szerokości pasma czy zależności energetycznych a jednak wszystko jest sinusem!
No właśnie, że nie jest. Jest pewien porządek świata i niektóre rzeczy są bardziej uprzywilejowane od innych. Nie ma się co oburzać.Luminofor pisze:Nie rozumiem skąd się to bierze, przecież sinus jest taką samą funkcją jak każda inna,...
To już jest czysto teoretyczna zabawa możliwa w komputerach (przetwarzanie DSP), ale i tak, gdy zaczniesz szukać prostszego opisu zjawisk/przebiegów, znowu dojdziesz do sinusów...Luminofor pisze:Jakby za funkcję podstawową uznać np. przebieg prostokątny to sam w sobie też by miał nieskończenie wąskie widmo - kwestia interpretacji.
No i nie masz racji. One są podstawowe i "wpisane" w przyrodę. Twoje osobiste odczucia (młodzieńczy bunt na taką, czy inną organizację świata) nie zmienią tego. Masz tylko i wyłącznie jedno wyjście: zaakceptować To.Luminofor pisze:Jest mnóstwo funkcji okresowych - czemu akurat sinus? Piszesz, że to podstawowe funkcje okresowe. A ja mówię: guzik prawda.
Teoretycznie do pewnego stopnia możesz, ale nie będzie to miało praktycznego zastosowania (zwyczajna "sztuka dla sztuki" dla brylowania w środowisku akademickim).Luminofor pisze:Czy podstawowe to zależy od punktu widzenia - ja równie dobrze mogę sobie przyjąć za podstawowy przebieg trójkątny czy piłokształtny i w oparciu o niego zrobić nową analizę fourierowską itp.
Masz potencjał (umysłowy), to nie marnuj go na takie bzdety ("para w gwizdek").
Te rozważania teoretyczne mogę podsumować jednym stwierdzeniem, ludzkość musiała dużo się nabiedzić, zanim (doświadczalnie) zostało wynalezione koło. Tego wynalazku w chwili jego wynalezienia nikt nie kojarzył z jakimś tam sinusem czy kosinusem, chociaż to własnie jest sinus i kosinus w czystej postaci. Dlatego cały postęp techniczny jest oparty na tych funkcjach, bo trudno sobie wyobrazić wóz na kwadratowych kołach, chociaż taki kwadrat jest pierwszym (lub drugim, po trójkącie) przybliżeniem koła.